Limit Fungsi

Limit biasa digunakan untuk menyatakan batas. Artinya kita boleh mendekati batas tersebut tetapi tidak boleh mencapai batas tersebut. Misalnya, kendaraan tidak dapat digunakan jika bensinnya habis. Namun kita masih bisa menggunakan kendaraan ketika bensin mendekati habis. Limit menunjukkan kecenderungan nilai suatu fungsi jika batas tertentu didekati.

Definisi dan Pengertian Limit

Definisi Limit

Berikut adalah definisi limit menurut Austin Louis Cauchy:

Sebuah fungsi f(x) mempunyai  jika dan hanya jika untuk sembarang bilangan real  maka terdapat bilangan real  sedemikian hingga memenuhi:

 maka 

Pengertian Limit

Supaya lebih memahami pengertian limit, berikut disajikan contoh:

Perhatikan fungsi aljabar . Agar fungsi f(x) terdefinisi, nilai x dibatasi yaitu x ≠ 1. Jika batas nilai x tersebut didekati, akan diperoleh hasil bahwa nilai fungsi mendekati 3 seperti terlihat pada tabel berikut:

x	0,99	0,999	0,9999	0,99999	…	1	…	1,00001	1,0001	1,001
	2,9701	2,997001	2997	2,99997	…	-	…	3,00003	3,0003	3,003001

Pada kasus seperti di atas dikatakan limit  untuk x mendekati 1 adalah 3, ditulis: .

Limit Fungsi

 artinya nilai x mendekati nilai a (tetapi x ≠ a) maka f(x) mendekati nilai L.

Penyelesaian limit fungsi

       Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi, ada beberapa cara :
1). Metode Numerik
2). Subsitusi
3). Pemfaktoran
4). Kali sekawannya
5). Menggunakan Turunan 

Sifat-Sifat Teorema Limit Fungsi

1. 
2. 
3. 
4. 
5. Jika  dan  maka: 
6. 
7. 
8. , untuk 
9. Jika  maka:  untuk L ≠ 0
10. 

Menentukan Nilai dari Suatu 

1. Jika f(a) = k maka 
2. Jika  maka 
3. Jika  maka 
4. Jika  atau bentuk tertentu  maka sederhanakan bentuk f(x) sehingga diperoleh bentuk f(a) seperti (1), (2), dan (3).

Limit Fungsi Tak Terhingga

1. 
2.  Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)
3.  Jika pangkat tertinggi f(x) lebih kecil dari pangkat tertinggi g(x)
4.  Jika pangkat tertinggi f(x) lebih besar dari pangkat tertinggi g(x)

Limit Fungsi Aljabar

Limit Fungsi Aljabar Berhingga

1. Jika f(a)=C, maka nilai 
2. Jika , maka nilai 
3. Jika , maka nilai  disederhanakan dulu menjadi bentuk 1, 2, atau 3

Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga

Menentukan nilai  atau :

1. Jika n = m maka 
2. Jika n > m maka 
3. Jka n < m maka 

Limit Fungsi Trigonometri

Untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri digunakan rumus-rumus berikut:

1. 
2. 
3. 
4. 

Kemudian, secara umum dapat menggunakan langkah-langkah cepat seperti di bawah ini:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Jika terdapat fungsi cos maka ubahlah ke dalam bentuk sebagai berikut:

1. cos x diubah menjadi 
2.  diubah menjadi 

Berikut adalah sifat-sifat teorema limit fungsi geometri lainnya:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi

Nomor 1
 

Pembahasan
Ganti x = 2
2² – 2 . 2 + 1 = 1

Nomor 2 
 

Pembahasan
Ganti x = 0
(0 – 3) (0 + 7) = - 3 . 7 = - 21 

Nomor 3


Pembahasan
Bagi setiap variabel dengan pangkat tertinggi:

Nomor 4

Tentukan hasil dari soal limit berikut

Pembahasan
Cara pertama dengan rumus yang ada diatas, sehingga langsung didapatkan



atau dengan cara kedua yang lebih panjang, memakai turunan, 3x turunkan jadi 3 dan sin 4x turunkan jadi 4 cos 4x, kemudian ganti x dengan nol

Nomor 5

Tentukan hasil dari soal limit berikut

Pembahasan
Ubah dulu 1 − cos 4x menjadi 2 sin ² 2x.

SOAL LATIHAN LIMIT FUNGSI


Soal No. 1

Tentukan nilai dari

Soal No. 2

Tentukan nilai dari

Soal No. 3

Tentukan nilai dari

Soal No. 4

Tentukan hasil dari soal limit berikut

Soal No. 5

Tentukan hasil dari soal limit berikut